با توجه به فرمول های توابع هذلولوی داریم
$$I= \int \sqrt{1+ cosh^{2}x }dx= \int \sqrt{sinh^{2}x+2}dx= \sqrt{2} \int\sqrt{ \frac{sinh^{2}x}{2} +1}dx $$
حالا از تغییر متغیر $t=ix$ استفاده میکنیم داریم
$$I=- \sqrt{2}i \int \sqrt{1- \frac{sin^2t}{2} } dt $$
انتگرال به دست اومده انتگرال بیضوی نوع دومه https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral#Incomplete_elliptic_integral_of_the_second_kind
که با $E(t| \frac{1}{2}) $ نشون داده میشه پس انتگرال برابر
$$I=-\sqrt{2}iE(ix| \frac{1}{2})+c$$
