حد $\lim{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^{n-1}(i\sqrt[n^2]{e^{i^2}})}{n^2}$ را به شکل یک انتگرال معین بنویسید.

Question

حد زیر را به صورت یک انتگرال معین بنویسید.

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt[n^2]{e}+2\sqrt[n^2]{e^4}+3\sqrt[n^2]{e^9}+\ldots+(n-1)\sqrt[n^2]{e^{(n-1)^2}}}{n^2}$$

آنچه که ایجاد ابهام کرده برام اینه که تغییرات $i$ از ۱ تا $n-1$ هستش. اگر تغییرات $i$ از ۱ تا $n$ باشه حاصل به صورت مقابل خواهد بود:

$$\int_0^1 x e^{x^2}{\rm d}x$$

Comments

خب اون آخری رو خودت اضافه و کم کن.

---

تغییرات را اگر از 0 تا n-1 درنظر بگیرید.

---

واقعا ممنون از همگی.

متأسفانه فعلا راه بهتری برای تشکر کردن ندارم.

Answer 1

پس با توصیح جناب @kazomano خواهیم داشت:

---

$ \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{ \sqrt[n^2]{e}+2\sqrt[n^2]{e^4}+3\sqrt[n^2]{e^9}+ \ldots +(n-1)\sqrt[n^2]{e^(n-1)^2} }{n^2} = \int_0^1 x e^{ x^{2} }dx - \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{ (n)\sqrt[n^2]{ e^{ n^{2} } } }{n^2} = \int_0^1 x e^{ x^{2} }dx $

---

و با توضیح جناب @Neseli عدد $(0)\sqrt[n^2]{ e^{ 0^{2} } }$ به سری موجود در صورت کسری که در سؤال آمده، اضافه خواهد شد.

---

پس در واقع مهم اینه که رابطه بر مبنای تعداد تقسیمات $n$ برای بازه $a$ تا $b$ نوشته بشه.

پس اینم می شد که $ \Delta $ رو به صورت زیر تعریف کرد:

$\Delta= \frac{b-a}{n-1} $